Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD⊥BC于D．
（1）求证：AC+CD=BD；
（2）E为BD的中点，CE：AC=7：5，点F在BC上，∠EAF=2∠B，过点C作CG⊥AE于点G，交AD于点H，交AF于点P，若DF=．求线段PH的长．

Answer

（1）在BD上取点M，使DM=CD，然后判断AD是CM的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=AC，从而得到∠C=∠AMC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMC=∠B+∠BAM，然后求出∠B=∠BAM，根据等角对等边的性质可得AM=BM，再根据BD=BM+MD整理即可得证；
（2）设CE为7a，则AC为5a，先表示出CD，再根据（1）的结论与E是BD的中点表示出BD，整理后用a表示出BD，然后求出ED、CD和AD，再判断出△AED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出AE，然后求出△AEF和△CEA相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解得到a的值，从而得到AE的值，再求出EG的值，然后得到AG的值，从而得到GH，再利用∠EAF和∠ACD的正切值相等列式求出PG的长，然后根据PH=PG-GH计算即可得解．
（1）证明：如图，在BD上取点M，使DM=CD，
∵DM=CD，且AD⊥BC，
∴AD为CM的垂直平分线，
∴AM=AC，
∴∠C=∠AMC，
∴∠C=2∠B，
∴∠AMC=2∠B，
∵∠AMC=∠B+∠BAM，
∴∠B=∠BAM，
∴AM=BM，
∴BD=BM+MD，
∴BD=AC+CD；

（2）【解析】
设CE为7a，则AC为5a，
∵E为BD的中点，
∴CD=7a-BD，
∵BD=AC+CD，
∴BD=5a+7a-BD，
解得BD=8a，
∴ED=BD=×8a=4a，
∴CD=CE-ED=7a-4a=3a，
在Rt△ACD中，AD===4a，
∴△AED是等腰直角三角形，
AE=AD=4a，
∵∠EAF=2∠B，∠ACB=2∠B，
∴∠EAF=∠ACB，
又∵∠AEC=∠FEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴=，
即=，
解得a=1，
∴CE=7，AD=ED=4，AE=4，
∵△AED为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
∵CG⊥EA，
∴EG=，
∴AG=，
∵∠EAD=45°，
∴GH=，
∵tan∠ACD==，∠GAP=∠ACD，
∴tan∠GAP=，
∴=，
即=，
解得PG=，
∴PH=PG-GH=-=，
即PH=．