Question

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当=1时，CF=______cm，
（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

Answer

（1）当=1时，由AB∥DF，得，由AB=6，CF可求．
（2）当=2时，①点E在线段AB上时，延长AB′交DC于点M，求sin∠DAB′的值，即求的值，由AB∥CF，可得△ABE∽△FCE，即得=2，又AB=6，可得CF=3；由∠BAE=∠F，又∠BAE=∠B′AE，可得∠B′AE=∠F，即MA=MF．设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=（9-k）2+62，解得k=．得DM=，．即sin∠DAB′的值可求．②点E在不在线段AB上时，如图2所示，求sin∠DAB′的值，即是求的值，同理可求．
（3）当=x时，求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，同理需分两种情况，①动点的位置在线段BC上，所求△AB′E的面积即为△ABE的面积；②动点的位置不在线段BC上，△ADF的面积为所求．
【解析】
（1）当=1时，∵AB∥DF，
∴=1．
∵AB=6，
∴CF=6cm．

（2）①如图1．当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M．
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴．
∵=2，
∴CF=3；
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠F；
又∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠F，
∴MA=MF．
令MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=（9-k）2+62，
解得k=MA=，
∴DM=．
∴sin∠DAB′=．
②如图2．当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′N=12-m，
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m2=（12-m）2+62，
解得m=AN=，
∴B′N=，
∴sin∠DAB′=．

（3）当=x时，正方形ABCD的边长为6cm，△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y．分两种情况：
①当点E在BC上时．
∵=x，
∴=，BE=，
∴y=×AB×BE，即y=．
②当点E在BC延长线上时，△ADF的面积为所求．
∵=x，∴=，
又∵AD=6，
∴FC=，DF=6-；
∴，
∴y=．