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如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(0,2),点D在x轴的负半轴上,∠...

如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(0,2),点D在x轴的负半轴上,∠ODB=30°,OE为△BOD的中线,过B、E两点的抛物线y=ax2-manfen5.com 满分网x+c与x轴相交于A、F两点(A在F的右侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是上述抛物线上一动点,若由点D、O、E、P构成四边形为梯形,则这样的点P有几个?试求出其中两个点P的坐标;
(3)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上,求AE及AM的长.

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(1)解直角三角形求出OD的长度,再根据点E是BD的中点求出点E的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答; (2)利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD、OE的解析式,然后分①EP∥OD时,点P的纵坐标与点E的纵坐标相同,代入抛物线计算即可求出点P的横坐标,②DP∥OE时,根据平行直线的解析式的k值相等求出DP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可;③OP∥DE时,先求出直线OP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可; (3)令y=0,利用抛物线解析式求出点A的坐标,过点E作EG⊥OD于G,求出AG、EG,再利用勾股定理列式计算即可求出AE的长;过点O作OK⊥AE于K,利用∠EAG的正弦值列式求出OK,余弦值列式求出AK,再根据等边三角形的性质求出KM的长度,然后分点M在点K的左边与右边两种情况解答. 【解析】 (1)∵点B(0,2), ∴OB=2, ∵∠ODB=30°, ∴OD=OB•cot30°=2, ∵E为BD中点, ∴点E的坐标为(-,1), ∵抛物线y=ax2-x+c经过B(0,2)、E(-,1), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2; (2)∵点B(0,2),D(-2,0), ∴直线BD的解析式为y=x+2, ∵点E(-,1), ∴直线OE的解析式为y=-x, ①EP∥OD时,点P的纵坐标与点E的纵坐标相同,为1, ∵点P在抛物线上, ∴-x2-x+2=1, 解得x1=-(为点E,舍去),x2=, ∴点P的坐标为(,1), ②DP∥OE时,设直线DP的解析式为:y=-x+m, 则-×(-2)+m=0, 解得m=-2, 所以,直线DP的解析式为y=-x-2, 联立, 解得,, 所以,点P的坐标为(,)或(,), ③OP∥DE时,直线OP的解析式为y=x, 联立, 解得,, ∴点P的坐标为(,)或(,), ∴点P有5个,为P1(,1),P2(,),P3(,),P4(,),P5(,); (3)令y=0,则-x2-x+2=0, 整理得,3x2+x+12=0, 解得x1=-,x2=, ∵抛物线与x轴相交于A、F,A在F的左侧, ∴A点的坐标为(,0), 过点E作EG⊥OD于G,∵点E(-,1), ∴OG=,EG=1, ∴AG=+=2, 在Rt△AEG中,AE===; 过点O作OK⊥AE于K, 则sin∠EAG==, 即=, 解得OK=, cos∠EAG==, 即=, 解得AK=, ∵△OMN是等边三角形, ∴KM=OK•cot60°=×=, ∴AM=AK+KM=+=, 或AM=AK-KM=-=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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