Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的负半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax²-x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是上述抛物线上一动点，若由点D、O、E、P构成四边形为梯形，则这样的点P有几个？试求出其中两个点P的坐标；
（3）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长．

Answer

（1）解直角三角形求出OD的长度，再根据点E是BD的中点求出点E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，代入抛物线计算即可求出点P的横坐标，②DP∥OE时，根据平行直线的解析式的k值相等求出DP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；③OP∥DE时，先求出直线OP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；
（3）令y=0，利用抛物线解析式求出点A的坐标，过点E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式计算即可求出AE的长；过点O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根据等边三角形的性质求出KM的长度，然后分点M在点K的左边与右边两种情况解答．
【解析】
（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2，
∵E为BD中点，
∴点E的坐标为（-，1），
∵抛物线y=ax2-x+c经过B（0，2）、E（-，1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2；

（2）∵点B（0，2），D（-2，0），
∴直线BD的解析式为y=x+2，
∵点E（-，1），
∴直线OE的解析式为y=-x，
①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为1，
∵点P在抛物线上，
∴-x2-x+2=1，
解得x1=-（为点E，舍去），x2=，
∴点P的坐标为（，1），
②DP∥OE时，设直线DP的解析式为：y=-x+m，
则-×（-2）+m=0，
解得m=-2，
所以，直线DP的解析式为y=-x-2，
联立，
解得，，
所以，点P的坐标为（，）或（，），
③OP∥DE时，直线OP的解析式为y=x，
联立，
解得，，
∴点P的坐标为（，）或（，），
∴点P有5个，为P1（，1），P2（，），P3（，），P4（，），P5（，）；

（3）令y=0，则-x2-x+2=0，
整理得，3x2+x+12=0，
解得x1=-，x2=，
∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为（，0），
过点E作EG⊥OD于G，∵点E（-，1），
∴OG=，EG=1，
∴AG=+=2，
在Rt△AEG中，AE===；
过点O作OK⊥AE于K，
则sin∠EAG==，
即=，
解得OK=，
cos∠EAG==，
即=，
解得AK=，
∵△OMN是等边三角形，
∴KM=OK•cot60°=×=，
∴AM=AK+KM=+=，
或AM=AK-KM=-=．