Question

如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PQ是半圆O的切线；
（2）若点M从点C出发，沿线段CA向点A运动，N从点A出发，沿射线AP方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点M运动到A即停止，设运动时间为t秒．
①设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△AMN的面积最大，最大值是多少？
②当△AMN为等腰三角形时，求运动时间t的值．

Answer

（1）欲证PQ是半圆O的切线，只需证明PQ⊥AB即可；
（2）①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，构建相似三角形△NAD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例知，由此可以求得ND=t；然后根据三角形的面积公式可以求得S与t之间的函数关系式；最后根据二次函数最值的求法来求，△AMN的面积的最大值；
②需要分类讨论：求当AN为底、AM为底、MN为底三种情况下的时间t的值．
（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代换），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圆O的切线；

（2）【解析】
①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，则∠ADN=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADN=∠ACB（等量代换）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴（相似三角形的对应边成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴，
∴ND=t，
∴S====，
∴当t=4时，△AMN的面积最大，最大值是；                     

②在Rt△ABC中，BC===6，
∴cos∠CBA=；
如图2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足为E，∴AE=，
在Rt△AEN中，cos∠MAE==cos∠CBA=，
∴=，
∴；
如图3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足为F，则AF=，
在Rt△AFN中，cos∠NAF==cos∠CBA=，
∴=，
∴，
若AN=AM，有t=8-t，则t=4；       
故当△AMN为等腰三角形时，t的值为、4或．