连接BD及OB，根据直径所对的圆周角为直角得到角ABD为直角，又角A为45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，因为O为AB中点，根据三线合一得到BO垂直于AD，又根据BO为斜边上的中线，等于斜边AD的一半，即可求出BO，根据扇形OAB与扇形OBD的圆心角及半径相等，得到两扇形面积相等，又三角形AOB与三角形BOD全等得到两三角形面积相等，用扇形减去三角形即可得到弓形AB与弓形BD的面积相等，则阴影部分面积可转化为三角形BDC的面积，根据平行四边形的对边相等得到BC与AD相等都等于4，然后根据三角形的面积公式底乘以高除以2即可求出所求阴影部分的面积．
【解析】
连接BD，OB，
∵AD为圆O的直角，
∴∠ABD=90°又∠A=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，又O为AD的中点，
∴BO⊥AD，且BO=AD=2，AB=BD，
∵扇形AOB与扇形OBD的圆心角都为90°，半径都为2，
得到S扇形AOB=S扇形OBD，又S△AOB=S△DOB
∴S弓形AB=S弓形BD，
由ABCD为平行四边形，得到AD=BC，
则S阴影=S△BCD=BC•BO=AD•OB=×4×2=4．
故选C．
