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如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB...

manfen5.com 满分网如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且manfen5.com 满分网,求这时点P的坐标.
(1)过B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°,在Rt△BQA中,根据三角函数的定义可得QB的长,进而可得OQ的长;即可得B的坐标; (2)分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论,结合等腰三角形的性质,可得OP、OC的长,进而可得答案; (3)根据题意易得△COP∽△PAD,进而可得比例关系,代入数据可得答案. 【解析】 (1)过B作BQ⊥OA于Q,则∠COA=∠BAQ=60°, 在Rt△BQA中,QB=ABsin60°=, , ∴OQ=OA-QA=7-2=5. ∴B(5,). (2)①当OC=OP时,若点P在x正半轴上, ∵∠COA=60°,△OCP为等腰三角形, ∴△OCP是等边三角形. ∴OP=OC=CP=4. ∴P(4,0). 若点P在x负半轴上, ∵∠COA=60°, ∴∠COP=120°. ∴△OCP为顶角120°的等腰三角形. ∴OP=OC=4. ∴P(-4,0) ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0). ②当OC=CP时,由题意可得C的横坐标为:4×cos60°=2, ∴P点坐标为(4,0) ③当OP=CP时, ∵∠COA=60°, ∴△OPC是等边三角形,同①可得出P(4,0). 综上可得点P的坐标为(4,0)或(-4,0). (3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OPC+∠DPA=120°. 又∵∠PDA+∠DPA=120°, ∴∠OPC=∠PDA. ∵∠COP=∠A=60°, ∴△COP∽△PAD. ∴. ∵,AB=4, ∴BD=, AD=. 即. ∴7OP-OP2=6得OP=1或6. ∴P点坐标为(1,0)或(6,0).
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考点分析:
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(1)解方程:manfen5.com 满分网
(2)解方程组:manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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