Question

如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O分别交于A、B、C、D四点．PO平分∠BPD；
求证：AB=CD．

Answer

过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，连接OA，OC，由角平分线性质求出OE=OF，根据HL证Rt△AOE≌Rt△COF，推出AE=CF，根据垂径定理即可求出AB=CD．
证明：
过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，连接OA，OC，
∵PO平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE=OF，∠OEA=∠OFC=90°，
在Rt△AOE和Rt△COF中，

∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴AE=CF，
∵OE⊥PB，OF⊥PD，
∴由垂径定理得：AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD．