Question

已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM=BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为______；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC=3：1，NQ=，求EF的长．

Answer

（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【解析】
（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ．
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC
∴BQ=3DQ．DN+NP=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM．
∴DN+BM=BC．

（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°．
∵∠COB=45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC．
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴．
故答案为：

（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴PB=2x，
∴PM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，，
∴，
∴DE=，
∴
∵NQ=，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN==15．
∴，
∴NE=
∴EM=
设EF=a，则FM=7a，
∴a+7a=
∴a=