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已知:如图,正方形ABCD,对角线AC、BD相交于O,Q为线段DB上的一点,∠M...

已知:如图,正方形ABCD,对角线AC、BD相交于O,Q为线段DB上的一点,∠MQN=90°,点M、N分别在直线BC、DC上,
(1)如图1,当Q为线段OD的中点时,求证:DN+manfen5.com 满分网BM=manfen5.com 满分网BC;
(2)如图2,当Q为线段OB的中点,点N在CD的延长线上时,则线段DN、BM、BC的数量关系为______
(3)在(2)的条件下,连接MN,交AD、BD于点E、F,若MB:MC=3:1,NQ=manfen5.com 满分网,求EF的长.
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(1)如图1,过Q点作QP⊥BD交DC于P,然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM,就可以得出结论; (2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H,通过证明△QHM∽△QDN,由相似三角形的性质就可以得出结论; (3)由条件设CM=x,MB=3x,就用CB=4x,得出BH=2x,由(2)相似的性质可以求出MQ的值,再根据勾股定理就可以求出MN的值,可以表示出ND,由△NDE∽△NCM就可以求出NE,也可以表示出DE,最后由△DEF∽△BMF而求出结论. 【解析】 (1)如图1,过Q点作QP⊥BD交DC于P, ∴∠PQB=90°. ∵∠MQN=90°, ∴∠NQP=∠MQB, ∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=CB,∠BDC=∠DBC=45°.DO=BO ∴∠DPQ=45°,DQ=PQ. ∴∠DPQ=∠DBC, ∴△QPN∽△QBM, ∴. ∵Q是OD的中点,且PQ⊥BD, ∴DO=2DQ,DP=DC ∴BQ=3DQ.DN+NP=BC, ∴BQ=3PQ, ∴, ∴NP=BM. ∴DN+BM=BC. (2)如图2,过Q点作QH⊥BD交BC于H, ∴∠BQH=∠DQH=90°, ∴∠BHQ=45°. ∵∠COB=45°, ∴QH∥OC. ∵Q是OB的中点, ∴BH=CH=BC. ∵∠NQM=90°, ∴∠NQD=∠MQH, ∵∠QND+∠NQD=45°,∠MQH+∠QMH=45° ∴∠QND=∠QMH, ∴△QHM∽△QDN, ∴, ∴HM=ND, ∵BM-HM=HB, ∴. 故答案为: (3)∵MB:MC=3:1,设CM=x, ∴MB=3x, ∴CB=CD=4x, ∴PB=2x, ∴PM=x. ∵HM=ND, ∴ND=3x, ∴CN=7x ∵四边形ABCD是正方形, ∴ED∥BC, ∴△NDE∽△NCM,△DEF∽△BMF, ∴,, ∴, ∴DE=, ∴ ∵NQ=, ∴QM=3, 在Rt△MNQ中,由勾股定理得: MN==15. ∴, ∴NE= ∴EM= 设EF=a,则FM=7a, ∴a+7a= ∴a=
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考点分析:
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体育成绩(分)人数(人)百分比(%)
26816
27a24
2815d
29be
30c10
根据上面提供的信息,回答下列问题:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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