Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC，交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）其中BC=6，cosC=，求⊙O的半径；
（3）如果⊙O在如图位置开始沿着射线BA方向移动，当OB满足什么条件时，⊙O与直线AC相交？（直接写出结果）

Answer

（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12-r，从而根据平行线分线段成比例定理求解；
（3）△ABC是已知的三角形，因而边长是已知数值，设AB=AC=a，BC=2b，则BE=EC=b，则a，b就是已知数．利用相似三角形的性质求得当⊙O与直线AC相切时OB的长度，进而即可求得OB的范围．
（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）【解析】
设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=，
∴AB=BE÷cosB=5，则OA=5-r．
∵OM∥BE，
∴=，
即=，
解得r=；

（3）设AB=AC=a，BC=2b，则BE=EC=b，设AE=h，同（2）可以得到：=，解得：r=，
则△ABC中AC边上的高长是：BG=．
当圆与AC相切，且O在边AN上时：作OF⊥AC于，则OF=r=，且OF∥BG．
∴=，
∴OA===，
又∵h=，
∴OA==．
则OB=a-．
当O在BA的延长线上，且与AC相切时，OB=a+．
则当OB满足：a-＜OB＜a+时⊙O与直线AC相交．