Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点M是的中点，CM交AB于点N，AB=8，求MN•MC的值．

Answer

（1）利用已知得出∠PCB+∠OCB=90°，进而求出∠PCO=90°，利用切线的判定定理求出即可；
（2）首先证明△MBN∽△MCB，再利用相似的性质求出△MBN∽△MCB，进而得出MN•MC=BM2的值．
【解析】
（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．     
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴，
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=．                                     
∴MN•MC=BM2=32．