Question

在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

Answer

（1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；∴∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；∴∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴，∴，问题可求．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，∴，问题解决．
【解析】
（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．

（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=45°，
∴∠AGD=45°，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．
∴DQ=4-x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAC=90°，∠ADQ=∠AFC，
则△AQD∽△ACF．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．