Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将顶点坐标C（1，-2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；
（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；
（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得△PEF的面积．
【解析】
（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，-2）．
∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1；

（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，根据A，B关于对称轴对称，
可以得出AC=CB，AD=BD，点C关于x轴的对称点D，
故AC=BC=AD=BD，
则四边形ACBD是菱形，
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．            
由P（0，-1），M（1，0），
得
从而得y=x-1，
设E（x，x-1）代入y=x2-2x-1得x-1=x2-2x-1，
解得x1=0，x2=3，
根据题意得点E（3，2）；

（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x2-2x-1），
过点F做FG⊥y轴，垂足为G点．
在Rt△POM和Rt△FGP中，
∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∠OMP=∠FPG，
又∠MOP=∠PGF，
∴△POM∽△FGP
∴
∵OM=1，OP=1，
∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，
解得x1=0，x2=1，
根据题意得F（1，-2）
以上各步均可逆，故点F（1，-2）即为所求，
S△PEF=S△MFP+S△MFE=2×1×2×2=3．