当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．
【解析】
连接B′C，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，
∴B′C=-1，
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=-1，
在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（-1）=2-，
∴OD=1-OC=-1
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+-1+-1=2．
故选A．
