Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=16，AD=3，BC=5，AB⊥BC，AD∥BC，若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似．则AP的长是    ．

Answer

由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长．
【解析】
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
设AP的长为x，则BP长为16-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（16-x）=3：5，解得x=6；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：5=3：（16-x），解得x=1或x=15．
故答案为6或1或15．