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如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x...

如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y=manfen5.com 满分网经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.
(1)求B点坐标;
(2)求证:ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.
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(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标; (2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线; (3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值; ②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案. (1)【解析】 如图甲,连接PE、PB,设PC=n, ∵正方形CDEF的面积为1, ∴CD=CF=1, 根据圆和正方形的轴对称性知:OP=PC=n, ∴BC=2PC=2n, ∵而PB=PE, ∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1, ∴5n2=(n+1)2+1, 解得:n=1或n=-(舍去), ∴BC=OC=2, ∴B点坐标为(2,2); (2)证明:如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0), ∵A,C在抛物线上, ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式为:y=x2-x+2=(x-3)2-, ∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线, ∵C与G关于直线x=3对称, ∴CF=FG=1, ∴MF=FG=, 在Rt△PEF与Rt△EMF中, ∠EFM=∠EFP, ∵,, ∴, ∴△PEF∽△EMF, ∴∠EPF=∠FEM, ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°, ∴ME是⊙P的切线; (3)【解析】 ①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ, 则有AQ=A′Q, ∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长, ∵A与A′关于直线x=3对称, ∴A(0,2),A′(6,2), ∴A′C==2,而AC==2, ∴△ACQ周长的最小值为2+2; ②当Q点在F点上方时,S=S梯形ACFK-S△AKQ-S△CFQ=×(3+1)×2-×(2-t)×3-×t×1=t+1, 同理,可得:当Q点在线段FN上时,S=1-t, 当Q点在N点下方时,S=t-1.
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考点分析:
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(3)已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表:
A地B地C地
运往D县的费用(元/吨)220200200
运往E县的费用(元/吨)250220210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在(2)问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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