Question

如图，抛物线y=x²+ax+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），顶点为D，
（1）求该抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点E（x，0）是线段OB上的动点，过点E作EP∥BD，交OD于点P，连接DE．△PED的面积为S，求S与x的函数关系式，并求当x为何值时，S最大；
（3）在抛物线是否存在一点Q，使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的Q点的坐标和此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；再把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）根据点B、D的坐标求出OD、BD的长度，再利用勾股定理逆定理求出∠ODB=90°，然后判断出△OPE和△ODB相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出OP、PE，再求出PD，再根据∠EPD=90°，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的函数关系式，最后根据二次函数的最值问题解答即可；
（3）分①BD为平行四边形的对角线，D、Q重合，不合题意，②ED为平行四边形的对角线，D、Q重合，不合题意，③BE为平行四边形的对角线，作DF⊥x轴于F，作QG⊥x轴于G，可以判定△DFE和△QGB全等，根据全等三角形对应边相等可得QG=DF=，然后代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，从而得到点Q的坐标，再求出EF的长，然后根据x=OF+EF，代入数据进行计算即可得解．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+ax+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），
∴，
解得，
所以抛物线的解析式为y=x2-x-；
∵y=x2-x-=（x-1）2-，
∴顶点D的坐标（1，-）；

（2）∵B（4，0），D（1，-），
∴OB=4，OD==2，BD==2，
∴OD2+BD2=OB2=16，
∴∠ODB=90°，
∵EP∥BD，
∴△OPE∽△ODB，
∴==，
即==，
解得OP=x，PE=x，
∴PD=OD-OP=2-x，
又∵EP∥BD，
∴∠EPD=180°-∠ODB=180°-90°=90°，
S=×（2-x）×x=-x2+x，
即S=-x2+x，
∵S=-x2+x=-（x-2）2+，
∴当x为2时，S最大；

（3）以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形分三种情况，
①BD为平行四边形的对角线，BE∥DQ，即DQ∥x轴，
所以，直线DQ与抛物线只有一个交点D，Q与D重合，不合题意；
②ED为平行四边形的对角线，BE∥DQ，即DQ∥x轴，
所以，直线DQ与抛物线只有一个交点D，Q与D重合，不合题意；
③BE为平行四边形的对角线，如图，作DF⊥x轴于F，作QG⊥x轴于G，
∵四边形DBQE为平行四边形，
∴DE∥BQ，DE=QB，
∴∠BED=∠EBQ，
∴∠DEF=∠QBG，
∵在△DFE和△QGB中，
，
∴△DFE≌△QGB（AAS），
∴QG=DF=，
当y=时，x2-x-=，
整理得，x2-2x-17=0，
解得x1=1+3，x2=1-3（是负数，舍去），
∴点Q（1+3，），
∴EF=BG=1+3-4=3-3，
x=OE=OF+EF=1+（3-3）=3-2，
∴存在Q（1+3，），使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形，此时x=3-2．