Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．

Answer

（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC；
（2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE；
（3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=．
（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）

（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）

（3）【解析】
连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=，（8分）
∴⊙O的半径为cm．