Question

如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC． 
（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为______

Answer

（1）过点作CD⊥x轴于点D，先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长，故可得出PE的长，由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长，进而可得出结论；
（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F，在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的长，进而可得出C点坐标；
（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C在直线MC上运动．故当点P在点O时，点C与点M重合．
当点P运动到点A时，点C的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．
【解析】
（1）如图1，过点作CD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，P是OA的中点，
∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×=2，
∵E是BP的中点，
∴PE=，
∴PE=PC=，
∵∠BPC=60°，
∴∠CPA=30°，
∴PD=PC•cos30°=×=，CD=PC•sin30°=×=，
∴OD=OP+PD=2+=，
∴C（，）；

（2）如图2，过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F
在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=，
∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°
∴∠DBP=∠FPC，
∵∠PDB=∠CFP=90°
∴△BPD∽△PCF，
∴CF=，
∴点C的坐标是（）；        

（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，．
∴
∴∠CMF=30°．
∴点C在直线MC上运动．
当点P在点O时，点C与点M重合．
当点P运动到点A时，点C的坐标为
∴点C所经过的路径长为．