Question

如图，已知Rt△AOB在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交与点E．求：
（1）过点A、B、C的二次函数关系式；
（2）求△ABE面积的最大值．

Answer

（1）先根据∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0）求出B点坐标，用待定系数法求出过点A、B、C的二次函数关系式即可；
（2）由题意可得当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，然后连接CD，由切线的性质，根据勾股定理，可求得AD的长，易证得△AOE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例，易求得OE的长，继而求得△ABE面积的最大值．
【解析】
（1）∵Rt△AOB在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0），
∴B（0，），
设过A、B、C三点的函数关系式为y=a（x+1）（x-3），把点B（0，）代入得，
∴=a×1×（-3），解得a=-，
∴过点A、B、C的二次函数关系式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+x+；

（2）∵△ABE的高OA是定值，
∴BE越长，则△ABE的面积越大，
∴当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，连接CD，
则∠CDA=90°，
∵A（3，0），B（0，），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，
∴CD=1，AC=3+1=4，
∴AD===，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴=，=，解得OE=，
∴BE=OB+OE=+，
∴S△ABE最大=BE•OA=×（+）×3=+．