Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积．

Answer

（1）根据折叠的性质可得到∠1=∠3，∠2=∠4，AE=AE，由∠BAC=45°可判断出∠EAF的度数，进而可判断出四边形AEMF的形状；
（2）由图形翻折变换的性质可知，BE=BD，CF=CD，设正方形AEMF的边长是x，在Rt△BMC中利用勾股定理可求出x的值，由正方形的面积公式即可求出其面积．
【解析】
（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四边形AEMF是正方形．

（2）根据题意知：BE=BD，CF=CD
设正方形AEMF的边长是x，
∴BM=x-2；   CM=x-3
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
BC2=CM2+BM2，即（2+3）2=（x-3）2+（x-2）2，
解得x=6或x=-1（舍去），
∴EM=6，
∴S正方形AEMF=EM2=62=36．
故答案为：正方形，36．