Question

如图：两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦AC与小圆相切于点D，连接OD并延长交大圆于点E，连接BE交AC于点F．
（1）已知，且大、小两圆半径差2，求大圆的半径．
（2）试判断EC与过B、F、C三点的圆的位置关系，并证明．
（3）在（1）的条件下，延长EC、AB交于 G，求sin∠G．

Answer

（1）利用已知首先得出tan∠C=，再利用大、小两圆半径差为2，得出DE=2，再利用勾股定理求出大圆半径；
（2）首先证明∠ECF=∠CBF，进而得出∠O′CF+∠ECF=90°，即∠ECO′=90°，即可得出答案；
（3）先证明四边形ONCB为平行四边形，进而得出NH=EH=，即可求出sin∠G=sin∠DCN的值．
【解析】
（1）∵∠ABE=∠ACE，，
∴tan∠ACE=，
而OD⊥AC，
∵大、小两圆半径差为2，
∴DE=2，
故AD=DC=2，在Rt△AOD中，可求得DO=1，
半径AO=3；

（2）EC是过B、F、C三点的切线．
证明：连接BC，
设过B、F、C三点的圆的圆心为O′，则⊙O′的直径为BF，连接O′C，
则O′C=O′F，
∠O′FC=O′CF，
∵AE=CE，
∴∠ECF=∠CBF，
而∠O′FC+∠CBF=90°，
∠O′CF+∠ECF=90°，
即∠ECO′=90°，
故EC是⊙O′的切线．

（3）过C作CM∥AB交DE于N，过N作HN⊥EC，
∵BC∥DO，
∴四边形ONCB为平行四边形，
∴ON=BC=2，
∴NE=1，又Rt△EHN中，
可求得NH=，
∵NC=OB=3，
在Rt△NCH中，
sin∠G=sin∠HCN=．