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△ABC中,AC=BC.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G.直线DF⊥...

△ABC中,AC=BC.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G.直线DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如果BC=10,AB=12,求CG的长.

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根据题意做出辅助线连接OD,CD,BG,(1)由圆周角定理和垂直的性质推出∠BDC=∠AFD=90°,再由等腰三角形的性质推出∠A=∠ABC,根据余角的性质即可推出∠BCD=∠ADF,由∠ADF=∠EDB,OC=OD,推出∠BCD=∠ODC,通过等量代换即可推出∠EDB+∠BDO=90°,即OD⊥EF,从而推出EF与⊙O相切,(2)由BG⊥AC,∠A=∠ABC,推出△ABG∽△BCD,求得比例式,根据OD⊥EF,AC⊥EF,推出OD∥AC,根据平行线等分线段定理推出BD=AD后,结合已知即可求出BD=AD=6,由AC=BC=10,即可求出AG=7.2,结合图形即可推出CG=AC-AG=10-7.2=2.8. 【解析】 如图,连接OD,CD,BG, (1)∵BC为⊙O的直径, ∴∠BDC=90°, ∵DF⊥AC, ∴∠AFD=90°, ∵AC=BC, ∴∠A=∠ABC, ∴∠BCD=∠ADF, ∵∠ADF=∠EDB, ∵OC=OD, ∴∠BCD=∠ODC, ∴∠ODC=∠EDB, ∴∠ODC+∠BDO=90°, ∴∠EDB+∠BDO=90°, 即∠EDO=90°, ∴OD⊥EF, ∴EF与⊙O相切, (2)∵BC为⊙O的直径, ∴BG⊥AC, ∵∠A=∠ABC, ∴△ABG∽△BCD, ∴, ∵OD⊥EF,AC⊥EF, ∴OD∥AC, ∵OB=OC, ∴BD=AD, ∵AB=12, ∴BD=AD=6, ∵BC=10, ∴AC=BC=10, ∴, ∴AG=7.2, ∴CG=AC-AG=10-7.2=2.8.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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