Question

已知（如图）抛物线y=ax²-2ax+3（a＜0），交x轴于点A和点B，交y 轴于点C，顶点为D，点E在抛物线上，连接CE、AC，CE∥x轴，且CE：AC=2：．
（1）直接写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）连接AE，点P为线段AE上的一个动点，过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，设点P 的横坐标为m，求当m为何值时△AEF的面积最大，最大值为多少？
（4）点C是否在以BD为直径的圆上？请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线对称轴公式求解即可；根据抛物线的对称性求出CE的长度，从而得到AC的长，再求出点C的坐标，然后利用勾股定理列式求出OA的长度，即可得到点A的坐标；
（2）把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出a的值，即可得到抛物线解析式；
（3）根据点C的坐标以及CE的长度求出点E的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式得到直线AE的解析式，然后表示出PE的长度，再根据S△AEF=S△APF+S△PEF，列式整理即可得到△AEF的面积与m的函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求解；
（4）过点D作DG⊥y轴于G，根据点C、D的坐标可得∠1=45°，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，然后求出∠2=45°，从而得到∠BCD=90°，最后根据直径所对的圆周角是直角即可判定点C在以BD为直径的圆上．
【解析】
（1）抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∵CE∥x轴，
∴CE=2×1=2，
∵CE：AC=2：，
∴AC=，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标是（0，3），
∴OC=3，
根据勾股定理，OA===1，
所以，点A的坐标是（-1，0）；

（2）把点A坐标代入抛物线y=ax2-2ax+3得，a（-1）2-2a×（-1）+3=0，
解得a=-1，
所以，抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（3）∵C（0，3），CE∥x轴，对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（2，3），
设直线AE解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线AE的解析式为y=x+1，
∵点P的横坐标是m，
∴PF=（-m2+2m+3）-（m+1）=-m2+m+2，
∴S△AEF=S△APF+S△PEF，
=（-m2+m+2）×（m+1）+（-m2+m+2）×（3-m），
=-2m2+2m+4，
=-2（m-）2+，
所以，当m=时，△AEF的面积最大，最大值为；

（4）点C在以BD为直径的圆上．
理由如下：点D作DG⊥y轴于G，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D（1，4），
又∵点C（0，3），
∴CG=DG=1，
∴∠1=45°，
令y=0，则-x2+2x+3=0，即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点B坐标为（3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠2=45°，
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°，
∴点C在以BD为直径的圆上．