Question

如图，矩形ABCD中，AD=6，AB=，点O是AD的中点，点P在DA的延长线上，且AP=3．一动点E从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PD匀速运动；另一动点F从D点出发，以每秒1个单位长度的速度沿DO匀速运动，到达O点后，立即以原速度沿OD返回．已知点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PD的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点B时，运动时间t的值为______；
（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，运动时间t的值为______；
（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

Answer

（1）当边EG恰好经过点B时，∠DEB=60°，AE=3-t，在Rt△DEB中，解直角三角形可求t的值；
（2）当等边△EFG的顶点G恰好落在BC上时，等边△EFG的高=AB=，可求此时等边△EFG的边长，从而可求t的值；
（3）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜2.5，2.5＜t＜3，3≤t＜6，6≤t＜7.5五种情况，分别写出函数关系式．
【解析】
（1）∵△GEF是等边三角形，
∴∠GED=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE=30°．
∴tan∠ABE==．
设PE=t，则AE=3-t，
∴．
∵AB=2，
∴，
∴t=1．
故答案为：1s；
（2）如图2，设t秒后等边△EFG的顶点G恰好落在BC上，作GM⊥PD于M，
在Rt△EGM中，由勾股定理得：
EM=2，
∴EF=4，
∴9-2t=4，
∴t=2.5s．
故答案为：2.5．
（3）①当0≤t＜1时，重合部分是直角梯形，如图3，作FH⊥BC与H，
DF=CH=t，则在直角△FQH中，QH=HF•tan30°=2×=2，
则BQ=BC-QH-CH=6-2-t=4-t，
∴S=（BQ+AF）•AB=（4-t+6-t）•2=-2t+10；

②当1≤t＜2.5时，如图4，同上可得：CN=2+t，
BM=t-2.5，
则MN=6-（2+t）-（t-2.5）=6.5-2t，
EF=6+3-2t=9-2t，AE=3-t，
则S△AEH=AE•AH=×（3-t）•（3-t）2=（3-t）2；
S△EFG=（9-2t）2，S△MNG=（6.5-t）2，
则重合部分的面积是：S=（9-2t）2-（6.5-t）2-（3-t）2；

③当2.5＜t＜3时，如图5，
等边△EFG的边长是9-2t，则面积是：（9-2t）2，
直角△AEQ中，AE=3-t，则AQ=（3-t），
因而△AEQ的面积是：（3-t）2，
则S=（9-2t）2-（3-t）2；

④当3≤t＜6时，如图6，重合部分就是△EFG，边长是：3，则S=×32=；

⑤当6≤t＜7.5时，如图7，重合部分就是△EFG，边长是：3-2t，
则S=（3-2t）2．