Question

已知：如图，直线y=mx+n与抛物线交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x=-2交于点C（-2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．
（1）求直线y=mx+n和抛物线的解析式；
（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y=mx+n和直线x=-2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．

Answer

（1）利用待定系数法可以求出直线y=mx+n的解析式；在解二次函数的解析式时，可由其对称轴方程求出b的值，再代入A点的坐标可以求出c的值．
（2）此题需要从图形入手，显然在直线AB的上下方各有一个符合条件的P点，那么可以将图形进行简化（如解答部分的图示），在简化的图形中，△P1E1F≌△PEF且△PEF∽△ADF；圆的半径可由直线f和直线x=-2的距离得出（即PE、P1E1的长），AD、FD的长不难得到，那么由相似三角形即可求出PF的长，进而能求出PD、P1D的长，由此求出圆心的坐标．
（3）点B的坐标不难求出，根据直线AB和抛物线的解析式，可以先用一个未知数表达出点M、N的坐标，以MN为底，A、B点的横坐标差的绝对值为高（也可将△ABN分成两个三角形来分析），即可得到关于△ABN的面积和未知数的函数解析式，根据函数的性质求解即可．
【解析】
（1）将A（1，0）、C（-2，4）代入直线y=mx+n得：
，
解得：，
故直线解析式为：．
将A（1，0）代入抛物线及对称轴为直线x=-2得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：．

（2）存在．
如图1，图形简化为图2

直线f解析式：x=-5，故圆半径R=3，且F（-5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P1E1F≌△PEF，其中PE=P1E1=R=3，AD=6，FD=8，P1F=PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由得：PF=5．
∴PD=13，P1D=3．
∴P（-5，13）、P1（-5，3）．
综上可得存在点P的坐标为（-5，13）或（-5，3）．

（3）如图3：
联立直线与抛物线解析式得：，
解得交点B的坐标：（-9，）．
设点M（q，-q+），N（q，q2+q-），
所以：MN=（-q+）-（q2+q-）=-q2-q+3=-（q+4）2+．
S△ABN=S△AMN+S△BMN=MN•AF+MN•BE=MN（AF+BE）=5MN=-（q+4）2+．
当q=-4时，S△ABN有最大值；此时：MN=．