Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x²-4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为（ ）

A．
B．
C．
D．2

Answer

先利用根与系数的关系得到AC+BC=4和AC•BC=2，再把AC+BC=4两边平方，得到AC2+BC2的值，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，从而求出斜边AB的值，又因为S△ABC=AC•BC=AB×CD，所以把已知数据代入可求出CD的长．
【解析】
∵两直角边AC、BC的长恰是方程x2-4x+2=0的两个不同的根，
∴AC+BC=-=4，AC•BC==2，
∴（AC+BC）2=16，
∴AC2+BC2+2AC•BC=16，
∴AC2+BC2=16-2AC•BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2=12，
∴AB==2，
∵S△ABC=AC•BC=AB×CD，
∴×2=×2×CD，
∴CD=．
故选A．