Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②=；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④BE²+DC²=DE²  ⑤BE+DC=DE
其中正确的是（ ）

A．①②④
B．③④⑤
C．①③④
D．①③⑤

Answer

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；
③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确；
【解析】
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AED≌△AEF；
故本选项正确；

②∵AB=AC，
∴∠ABE=∠ACD；
∴当∠BAE=∠CAD时，
△ABE∽△ACD，
∴=；
当∠BAE≠∠CAD时，
△ABE与△ACD不相似，即≠；
∴此比例式不一定成立；
故本选项错误；

③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，
∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故本选项正确；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，
故本选项正确；

⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，
 故本选项错误；
综上所述，正确的说法是①③④；
故选C．