Question

如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（-，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使函数值y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据∠AOC的正切值，可设出点A的坐标，利用OA的长结合勾股定理可确定点A的坐标，进而可确定反比例函数的解析式；然后将B点坐标代入，即可得到点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式．
（2）结合两个函数的图象及A、B的坐标即可判断出y1＜y2成立的自变量x的取值范围．
【解析】
（1）过点A作AD⊥x轴于D；
∵tan∠AOC=，
∴在Rt△AOD中，tan∠AOC=，
∴，
设AD=n，OD=3n（其中n＞0）；
∴在Rt△AOD中，，
又∵OA=，
∴=n，
∴n=1，
∴3n=3，
∴A（3，1）；（2分）
将A（3，1）代入反比例函数中，
∴1=，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为y=；（4分）
将B（-，m）代入y=中，
∴m==-2，
∴B（-，-2）；（6分）
将A（3，1），B（-，-2）代入y1=ax+b中，
得解之得，
∴．（8分）

（2）由图象知，当或0＜x＜3时，y1＜y2．（10分）