Question

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=    时，四边形ABCN的面积最大．

Answer

设BM=x，则MC=4-x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
【解析】
设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则=，即=，
解得CN=，
∴S四边形ABCN=×4×[4+]=-x2+2x+8，
∵-＜0，
∴当x=-=-=2时，S四边形ABCN最大．
故答案为：2．