Question

已知抛物线l₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l₂的顶点B在y轴上，且抛物线l₁和l₂关于P（1，3）成中心对称．
（1）当a=1时，求l₂的解析式和m的值；
（2）设l₂与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

Answer

（1）首先求出顶点坐标，再代入直线解析式，分析得出二次函数解析式，利用相似△BPE∽△BAF，得出m的值；
（2）假设△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质分析得出C点的坐标，从而求出解析式．
【解析】
（1）当a=1时，∵y=ax2-2amx+am2+2m+1=（x-m）2+2m+1，
∴顶点A（m，2m+1），又P（1，3），设AB的解析式是y=kx+b，
把点A，P的坐标代入，得：
①-②，得：2m-2=（m-1）k，
∵m≠1（若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l2的顶点B（0，1），
∵抛物线l1和l2关于P（1，3）成中心对称．
∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2的解析式是：y=-x2+1，
∵点A，B关于点P（1，3）成中心对称，做PE⊥y轴，于点E，做AF⊥y轴于点F，则
△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2；

（2）在Rt△ABF中，∵AB==2＜5，
∴当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：
如图：若BC=AB=2，则OC==，
得C（，0）
∵C（，0）在y=-ax2+1上，
∴a=．

如图：若AC=BC，设C（X，0），做AD⊥x轴于点D，在Rt△OBC中，BC2=x2+1，
在Rt△ADC中，AC2=（x-2）2+25，由x2+1=（x-2）2+25，
解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax2+1上，所以a=，
综上所述，满足△ABC为等腰三角形a的值有两个：a=，a=．