Question

已知抛物线y=a（x-m）²+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y=（x-2）²+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x-m）²+n（m＞0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x-m）²+n的伴随直线是y=-2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用抛物线y=（x-2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可；
（2）首先得出点A的坐标为（0，-3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；
（3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b），以及n=-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b），利用勾股定理求出；
②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．
【解析】
（1）由抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=（x-2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），
设所求直线解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴所求直线解析式为y=-2x+5；

（2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，-3），
点C的坐标为（0，3），
可得：AC=6，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S△ABC=6即S△ABC=AC•BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x-3上，
∴顶点B的坐标为（2，-1），
又抛物线经过点A（0，-3），
∴a=-，
∴y=-（x-2）2-1；

（3）①如图，作BF⊥x轴于点F，
由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b），
∵顶点B（m，n）在直线y=-2x+b（b＞0）上，
∴n=-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b=，
∴b2=m2+4m2-4mb+b2，
∴m=b，
n=-2×b+b=-b，

②∵B点坐标为（m，n），即（b，-b），
∴BO==b，
∴BD=2b，
当BD=BP，
∴PF=2b-b=b，
∴P点的坐标为（b，b）；
如图3，当DP=PB时，
过点D作DE⊥PB，于点E，
∵B点坐标为（b，-b），
∴D点坐标为（-b，b），
∴DE=b，BE=b，设PE=x，
∴DP=PB=b+x，
∴DE2+PE2=DP2，
∴+x2=（b+x）2，
解得：x=b，
∴PF=PE+EF=b+b=b，
∴此时P点坐标为：（b，b）；
同理P可以为（b，-b）；（b，b），
故P点坐标为：（b，b）；（b，b）；（b，-b）；（b，b）．