Question

已知：关于x的方程：mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

Answer

（1）分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．
（2）根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．
【解析】
（1）①当m=0时，原方程可化为x-2=0，解得x=2；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）
=m2+2m+1
=（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；
故无论m为何值，方程恒有实数根．
（2）∵二次函数y=mx2-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴=2，
整理得，m2-m=0，
解得m1=0（舍去），m2=1．
则函数解析式为y=x2-2x．