Question

如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．
（1）当顶点P在射线OY上移动到点P₁时，连接AP₁，请用尺规作图；在∠XOY内部作出以AP₁为边的等边△AP₁B₁（要求保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）设AP₁交OB于点C，AB的延长线交B₁P₁于点D．求证：△ABC∽△AP₁D；
（3）连接BB₁，求证：∠ABB₁=90°．

Answer

（1）分别以A、P1为圆心，AP1长为半径画弧，两弧交于B1点，△AP1B1即为所求；
（2）欲证△ABC∽△AP1D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P1AD为一个公共角，又因为△PAB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP1≌△BAB1，因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
（1）【解析】
等边三角形作图所如下；
（2）∵△PAB、△P1AB1是等边三角形，
∴∠ABC=∠AP1D=60°，
又∵∠BAC=∠P1AD，
∴△ABC∽△AP1D．
（3）证明：
∵△PAB、△P1AB1是等边三角形，
∴∠BAP=∠P1AB1=60°，AB=AP，AB1=AP1．
∴∠BA B1=∠P1AP．
∴△BA B1≌△P1AP（SAS）．
∴∠AB B1=∠P1 PA=90°．