Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
【解析】
（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，
即tan60°=，即=，
解得t=1，
∴当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）如图1，过点M作MN⊥AB于点N，
当0≤t＜1时，
∵tan60°===，
∴EN=2，
EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
∴MC=1+t，
S=（MC+EB）×BC=2t+4；

如图2，当1≤t＜3时，
∵MN=2，EF=OP=6，
∴GH=6×=3，
∴=，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=BF=（3-t），
CQ=2-BQ=t-，
∴S=S梯形MKFE-S△QBP=-t2+3t+；

当3≤t＜4时，
∵MN=2，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×=6-t，
∴，
∴MK=8-2t，
S=-4t+20；

如图4，当4≤t＜6时，
∵EF=12-2t，
高为：EF•sin60°=EF，
S=t2-12t+36；
综上所述，S=；

（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）当AH=AO=3时，（如图5），过点E作EM⊥AH于M，
则AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE=，
即cos30°=，
∴AE=，即3-t=或t-3=，
∴t=3-或t=3+，

2）当HA=HO时，（如图6）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，
∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；

3）当OH=OA时，（如图7），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=3，
当E刚开始运动时3-t=3，
当点E返回O时是：t-3=3，
即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3-或t=3+或t=2或t=4或t=0．