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如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的...

如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.
(1)延长MP交CN于点E(如图2).
①求证:△BPM≌△CPE;
②求证:PM=PN;
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.
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(1)①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP,∠BPM=∠CPE即可得到; ②由△BPM≌△CPE,得到PM=PE则PM=ME,而在Rt△MNE中,PN=ME,即可得到PM=PN. (2)证明方法与②相同. (3)四边形MBCN是矩形,则PM=PN成立. (1)证明:①如图2: ∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N, ∴∠BMA=∠CNM=90°, ∴BM∥CN, ∴∠MBP=∠ECP, 又∵P为BC边中点, ∴BP=CP, 又∵∠BPM=∠CPE, ∴△BPM≌△CPE,(3分) ②∵△BPM≌△CPE, ∴PM=PE∴PM=ME, ∴在Rt△MNE中,PN=ME, ∴PM=PN.(5分) (2)【解析】 成立,如图3. 证明:延长MP与NC的延长线相交于点E, ∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N, ∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°, ∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP,(7分) 又∵P为BC中点, ∴BP=CP, 又∵∠BPM=∠CPE, 在△BPM和△CPE中, , ∴△BPM≌△CPE, ∴PM=PE, ∴PM=ME, 则Rt△MNE中,PN=ME, ∴PM=PN.(10分) (3)【解析】 如图4, 四边形M′BCN′是矩形, 根据矩形的性质和P为BC边中点,得到△M′BP≌△N′CP,(11分) 得PM′=PN′成立.即“四边形MBCN是矩形,则PM=PN成立”.(12分)
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考点分析:
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某公司有甲,乙两个绿色农产品种植基地,在收获期这两个基地当天收获的某种农产品,一部分存入仓库,另一部分运往外地销售,根据经验,该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量y(吨)与收获天数x(天)满足函数关系y=2x+3(1≤x≤10且x为整数).该农产品在收获过程中甲,乙两基地累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲,乙两基地累积存入仓库的量分别占甲,乙两基地的累积产量的百分比如下表:
项目
百分比
种植基地
该基地的累积产量占两基地累积总产量的百分比该基地累积存入仓库的量占该基地的累积产量的百分比
60%85%
40%22.5%
(1)请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲,乙两个基地累积存入仓库的量;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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