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如图,已知△ABC的高AE=5,BC=manfen5.com 满分网,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K.
(1)请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明;
(2)当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围.

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(1)根据△HFG≌△KFE,△IFG≌△JFE和HI∥BC可证HG=KE以及GI=JE,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形 ,即可证明; (2)AF取最小值时,F无限接近AE中点,取最大值时,F无限接近E点,即F在以AE的中点与E两点之间的线段上移动,且线段GI=JE不会大于BE.因而可求得AF的长的取值范围. 【解析】 (1)四边形HIJK是平行四边形.理由如下: ∵HI∥BC,AE是BC边上的高, ∴∠HGF=∠KEF, 又∵FG=FE,∠HFG=∠KFE, ∴△HFG≌△KFE, ∴HG=KE. 同理可证GI=JE, ∴HI=JK, ∴四边形HIKJ是平行四边形; (2)设线段AF长的取值为x. ∵四边形HIKJ是平行四边形, ∴FG=EF, ∴AG=2x-5, 在△AGI与△AEC中, ∵HI∥BC ∴△AGI∽△AEC ∴, , GI= 由图可知0<GI≤BE, 即0<≤5, 解得2.5<x≤4. 故2.5<AF≤4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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