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如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐...

manfen5.com 满分网如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=manfen5.com 满分网+bx+c经过B点,且顶点在直线x=manfen5.com 满分网上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的前提下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
(1)已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程,可用待定系数法求出抛物线的解析式. (2)首先求出AB的长,将A、B的坐标向右平移AB个单位,即可得出C、D的坐标,再代入抛物线的解析式中进行验证即可. (3)根据C、D的坐标,易求得直线CD的解析式;那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差,可将x=t代入两个函数的解析式中,得出的两函数值的差即为l的表达式,由此可求出l、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出l取最大值时,点M的坐标. 【解析】 (1)∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上, ∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m(1分) ∵点B(0,4)在此抛物线上, ∴4=×+m ∴m=-(3分) ∴所求函数关系式为:y=-=-x+4(4分) (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4, ∴AB==5 ∵四边形ABCD是菱形 ∴BC=CD=DA=AB=5(5分) ∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0);(6分) 当x=5时,y=×52-×5+4=4 当x=2时,y=×22-×2+4=0 ∴点C和点D在所求抛物线上;(7分) (3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′, 则; 解得:; ∴y=x-(9分) ∵MN∥y轴,M点的横坐标为t, ∴N点的横坐标也为t; 则yM=-t+4,yN=t-,(10分) ∴l=yN-yM=t--(-t+4)=-+t-=-+ ∵-<0, ∴当t=时,l最大=,yM=-t+4=. 此时点M的坐标为(,).(12分)
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(单位:亩)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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