Question

请尝试解决以下问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠______．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌______．
∴______=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的长．
（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD²+CE²=DE²始终成立，请说明理由．

Answer

（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；
（3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．
【解析】
（1）根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案为：FAE；△EAF；GF；   

（2）过A作AG⊥BC，交CB延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C=∠D=90°，
又∠CGA=90°，AD=CD，
∴四边形AGCD为正方形．                                              
∴CG=AD=10．
已知∠BAE=45°，
根据（1）可知，BE=GB+DE．
设BE=x，则BG=x-4，
∴BC=14-x．
在Rt△BCE中，∵BE2=BC2+CE2，即x2=（14-x）2+62．          
解这个方程，得：x=．
∴BE=；

（3）证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，
则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE，
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2，
即BD2+CE2=DE2…（11分）