Question

已知抛物线y=ax²-x-c过点A（-6，0），与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）连接DO，求证：∠AOD=∠ABO；
（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．

Answer

（1）将对称轴是直线x=-2，以及点A（-6，0），代入解析式求出即可；
（2）过D作DH⊥x轴，利用D（-2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，进而得出∠AOD=∠ABO；
（3）分别根据情况1：若∠DAP=90°，情况2：若∠ADP=90°，情况3：若∠APD=90°，分析得出P点坐标即可．
【解析】
（1）由题意得，
解得，
∴抛物线的表达式为y=-x2-x+3，
顶点D坐标为（-2，4）；

（2）过D作DH⊥x轴，
∵D（-2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，
又∵B（0，3），A（-6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，
∴∠AOD=∠ABO；

（3）∵△ADP与△AOB相似，而△AOB为直角三角形，
∴△ADP也为直角三角形，
∴情况1：若∠DAP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴P（0，-6）
但此时AD=4，AP=6，
∴=，又=，
∴△ADP与△AOB不相似，
∴此时点P不存在．           
情况2：若∠ADP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，
∴P（0，2）
此时，==，=，且∠ADP=∠AOB，
∴△ADP与△AOB相似，
即当P（0，2）时，使得△ADP与△AOB相似．
情况3：若∠APD=90°，设P（0，t），
则AP2+PD2=AD2，
即36+t2+4+（t-4）2=32，得t2-4t+12=0，
∵△＜0，
∴无解，
∴点P不存在．
综上所述，点P的坐标是（0，2）．