Question

如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A、B、P三点的抛物线的解析式；
（3）点D与点A、B、C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得的抛物线经过点D？请直接写出点D的坐标及相应平移方向与平移距离．

Answer

（1）利用垂直的性质首先得出∠1=∠2，进而得出△BCP∽△POA，根据=，求出OP的长即可得出P点坐标；
（2）利用点A，B，P三点的坐标，利用待定系数法求二次函数解析式y=ax 2+bx+c，即可得出答案；
（3）利用平行四边形的性质分别利用当AB=PD1，AB∥PD1，当AP=BD2，AP∥BD2，当AB=PD3，AB∥PD3，求出D点坐标，进而得出平移距离．
【解析】
（1）如图1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x轴，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴=，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴=，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）设过点A，B，P三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x 2-x+4；

（3）如图2所示：当AB=PD1，AB∥PD1，此时AD1PB是平行四边形，AD1=PB=1，AO=4，则OD1=3，
故D1（0，3），利用抛物线过点A，则抛物线向下平移1个单位即可过点D1；
当AP=BD2，AP∥BD2，此时AD2BP是平行四边形，AD2=PB=1，AO=4，则OD2=5，
故D2（0，5），利用抛物线过点A，则抛物线向上平移1个单位即可过点D2；
当AB=PD3，AB∥PD3，此时APD3B是平行四边形，PD3=AB=5，A点和D3点到PB距离相等为4，则点D3到x轴距离为3，
故D3（8，-3），∵y=x 2-x+4=（x-）2-，
∴设抛物线向下平移h个单位，则过点（8，-3），故-3=（8-）2--h，
解得：h=21，
故抛物线向下平移21个单位即可过点D3．