Question

已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）

（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）如图1，连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．欲证CD是⊙P的切线，只需证明PC⊥CD即可；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．根据切线的性质知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式=，由此可以求得r的值；
（3）①如图3，由正方形PCDE的四条边相等知DE=DC=r，则BD=OB-OE-DE．然后将其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的对应边成比例的比例式=中，从而求得CF的值；
②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°．如图4所示，在线段DE上截取EQ=EG．通过相似三角形：△GQP∽△BDP
，的对应边成比例求得BD=，然后将相关线段的长度代入该比例式来求线段EG的长度．
【解析】
（1）连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．
∵PC=PA（⊙P的半径），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA=10，BN=8，ON=6，
∴在Rt△OBN中，OB==10（勾股定理），
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠1（等边对等角），
∴∠OBA=∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；

（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP==，
在Rt△OBN中，sin∠BON===，
∴=，
解得：r=；

（3）①如图3，∵由（2）知r=，
∴在Rt△OPE中，OE===（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=，
∴BD=OB-OE-DE=10--=．
∵∠BFD=∠PFC，∠PEO=∠PCF=90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴=，即=，
解得，CF=，即CF的长度是；

②假设在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°．
如图4所示，在线段DE上截取EQ=EG．
∵OB⊥PE，
∴∠GQE=45°，
∴∠GQP=135°．
∵四边形PCDE是正方形，
∴PD=PC=，∠EPD=∠PDC=45°，
∴∠2+∠3=45°．
∵∠FPG=45°，
∴∠1+∠3=45°
∴∠1=∠2
∵∠BDP=∠BDC+∠PDC=90°+45°=135°
∴∠GQP=∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴=
∵OE=，DE=，OB=10，
∴BD=OB-ED-OE=．
设EG=a，则GQ=a，PQ=PE-EQ=-a，
∴=，
解得，a=，即EG的长度是．