Question

如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，BD=，求BC的长．

Answer

（1）连接圆心和切点，利用OC⊥AB可证得∠ODF=90°，从而得到其位置关系；
（2）易证得△COB∽△ADB，利用相似比求解即可．
【解析】
（1）FD与⊙O相切．1分
证明：连接OD；
∵FE=FD，
∴∠FED=∠FDE； 3分
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OEA+∠OAE=90°，∠FED=∠AEO，
∴∠ODE+∠FDE=90°，
∴FD与⊙O相切．

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠ADB=90°，∠CBO=∠ABD，
∴△COB∽△ADB，
∴，
∴BC==．