Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC=，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连接FP，设运动时间t秒．当t为何值时，的值最大，求出最大值；
（3）在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求出A，B，C，三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，问题得解．
（2）利用相似三角形得到，和t的关系式问题得解．
（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的t的值．
【解析】
（1）由题意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=OC=OB×tan∠ABC=8×=4，
∴C（0，4），，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a＞0）得，
解得．所以抛物线的解析式为；

（2）C（0，4）B（8，0）E（0，4-t）（t＞0），
OB=2OC=8CE=tBP=2tOP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴，
则有得EF=2t，
=．
当t=2时有最大值2．

（3）存在符合条件的t值，使△PBF与△ABC相似．
C（0，4），B（8，0），E（0，4-t），F（2t，4-t），P（8-2t，0）（t＞0），
AB=4BP=2t，BF=，
∵OC=4，
∴BC=．
①当点P与A、F与C对应，即△PBF∽△ABC，
则，
代入得，
解得；
②当点P与C、F与A对应，即△PBF∽△CBA，
则，
代入得，
解得（不合题意，舍去）．
综上所述：符合条件的和．