Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

Answer

（1）由点B的坐标为（3，0），OB=OC，即可求得点C的坐标，又由tan∠ACO=，即可求得点A的坐标，然后设两点式y=a（x+1）（x-3），将点C代入，即可求得这个二次函数的解析式；
（2）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，然后由所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，即可求得点的坐标，又由点在二次函数的图象上，即可求得该圆的半径长度；
（3）首先过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，然后求得点G的坐与直线AG得方程，然后由S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标-A横坐标），利用二次函数的最值问题，即可求得此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
【解析】
（1）由OC=OB=3，可知点C坐标是（0，-3），
连接AC，在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=，
∴OA=OC×tan∠ACO=3×=1，
故A（-1，0），…（3分）
设这个二次函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴这个二次函数的表达式为：y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3．…（5分）

（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R＞0），设M在N的左侧，
∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，
∴N（R+1，R）代入y=x2-2x-3中得：R=（R+1）2-2（R+1）-3，
解得R=．…（10分）
②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为r（r＞0），由①可知N（r+1，-r），代入抛物线方程y=x2-2x-3，可得-r=（r+1）2-2（r+1）-3，
解得：r=．…（13分）

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
把G（2，y）代入抛物线的解析式y=x2-2x-3，得G（2，-3）．…（15分）
由A（-1，0）可得直线AG的方程为：y=-x-1，…（16分）
设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），
∴PQ=-x2+x+2，
S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQ•（G横坐标-A横坐标）=（-x2+x+2）×3=-（x-）2+，…（18分）
当x=时，△APG的面积最大，…（19分）
此时P点的坐标为（，-），△APG的面积最大值为．…（20分）