Question

已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
（2）求折痕EF的长．

Answer

（1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；
（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半．
【解析】
（1）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF为平行四边形，
∵AE=EC，
即四边形AECF的四边相等．
∴四边形AECF为菱形．

（2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF
∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9-x）cm，
由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，
则CF=5，BF=4，
由面积可得：•AC•EF=AF•BC
即3•EF=5×3
∴EF=cm．