Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm²？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度
已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，即点P、Q在BC、AD，点P在
BC延长线上，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、
BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【解析】
（1）∵四边形PQDC是平行四边形
∴DQ=CP
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得t=5
当P从C运动到B时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）若点P、Q在BC、AD上时，

即
解得t=9（秒）
若点P在BC延长线上时，则CP=2t-21，
则
解得t=15（秒）．
故当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；

（3）当PQ=PD时
作PH⊥AD于H，则HQ=HD
∵QH=HD=QD=（16-t）
由AH=BP得
解得秒；
当PQ=QD时QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD2=PQ2=t2+122
∴（16-t）2=122+t2
解得（秒）；
当QD=PD时DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16-2t）2
∴（16-t）2=122+（16-2t）2
即3t2-32t+144=0
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．