Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先确定B点坐标为（2，0），设抛物线的交点式为y=ax（x-2），把B点坐标代入可求出a得到抛物线的函数表达式为y=-x（x-2）=-x2+x；
（2）分类讨论：当P1A∥OB，点P1与点A抛物线上的对称点，利用抛物线的对称轴为直线x=1，易得P1的坐标为（4，-4）；当BP2∥OA，先求出直线OA的解析式为y=2x，
则可直线BP2的解析式为y=2x+b，再把B点坐标代入可得到直线BP2的解析式为y=2x-4，然后把抛物线的解析式和直线BP2的解析式组成方程组，解方程即可得到P2的坐标．
【解析】
（1）∵OB=2，
∴B点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-2），
把A（-2，-4）代入得-4=a•（-2）•（-2-2），解得a=-，
故抛物线的函数表达式为y=-x（x-2）=-x2+x；

（2）存在．理由如下：
当P1A∥OB，过A点作AP1交抛物线于P1，如图，则四边形OABP1为梯形，
∴点P1与点A抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴P1的坐标为（4，-4）；
当BP2∥OA，即过B点作BP2∥OA交抛物线于P2，如图，则四边形OAP2B为梯形，
直线OA的解析式为y=2x，
设直线BP2的解析式为y=2x+b，
把B（2，0）代入得4+b=0，解得b=-4，
∴直线BP2的解析式为y=2x-4，
解方程组，得或，
∴P2的坐标为（-4，-12），
∴满足条件的P点坐标为（4，-4）、（-4，-12）．