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如图1,E、F、M、N是正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA上可以移动的四...

如图1,E、F、M、N是正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA上可以移动的四个点,每组对边上的两个点,可以连接成一条线段.
(1)如图2,如果EF∥BC,MN∥CD,那么EF______MN(位置),EF______MN(大小);
(2)如图3,如果E与A,F与C,M与B,N与D重合,那么EF______MN(位置),EF______MN(大小);
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(3)当点E、F、M、N不再处于正方形ABCD四条边AB、BC、CD、DA特殊的位置时,猜想线段EF、MN满足什么位置关系时,才会有EF=MN,画出相应的图形,并证明你的猜想.
(1)由EF∥BC,MN∥CD,BC⊥CD可得EF⊥MN,且EF=MN. (2)E与A,F与C,M与B,N与D重合,则EF,MN是正方形的对角线,根据对角线的性质互相垂直且互相平分可得出结论. 【解析】 (1)EF⊥MN,EF=MN; (2)EF⊥MN,EF=MN; (3)猜想:当EF⊥MN时,才会有EF=MN,如图,连接EF交MN与O,作EF⊥MN. 证明猜想:如图,作EF⊥MN,EF交MN与O. 过点N作NG⊥BC,过点F作FH⊥AB交MN与U, 又EF⊥MN,在Rt△MNG和Rt△EFH中,∠MGN=∠EHF=90°,FH=NG, ∠MNG+∠NUF=90°,∠EFH+∠NUF=90° ∴∠MNG=∠EFH 所以Rt△MNG≌Rt△EFH,所以EF=MN.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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