Question

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．

Answer

（1）①BG=2BP，根据等边三角形的性质求出∠BGP=30°，根据直角三角形的性质即可得出答案；②求出DG的长，当G和D重合时，求出x=，当G和D重合时求出x=1，即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出QP，证△EDQ∽△BPQ得到=，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到=，求出DF，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①当∠FEP=90°时，由EF∥AB，得出=，代入即可求出x；②当∠PFE=90°时，
由△BPF是等边三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF=DG，代入即可求出x．
（1）【解析】
①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．

②【解析】
∵等边△ABC，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC=1，
∵BG=2BP=2x，
∴DG=BG-BD=2x-1，
当G和D重合时，2x=1，x=，
当G和D重合时2x=2，x=1，
∴自变量x的取值范围是≤x≤1，
答：线段DG的长是2x-1，自变量x的取值范围是≤x≤1．

（2）【解析】
∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP==x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴=，
∴=，
解得：DE=，
∵PF∥AC，
∴=，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=DE•DF=•（）•（1-x）=-x2+x-=-+，
s的最大值是，
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-x2+x-，并求出S的最大值是．

（3）【解析】
相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴=，
∴=，
解得：x=，
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=，
∴BP的长是或，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是或．