Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．

Answer

（1）过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）分PC=QC和PC=QC两种情况进行讨论，求解；
（3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．
【解析】
在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=AB=3米，∴S=•QC•PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴=，
解得：QE=，
∴S=•PC•QE=•（10-2t）•=-+3t（0＜t≤5）

（2）当t=秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC===10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故=，即=，解得t=秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故=，即=，解得t=秒．

（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴==，即==
∴PF=6-，FC=8-
则在直角△PFQ中，PQ2=PF2+FQ2=（6-）2+（8--t）2=t2-56t+100
如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ2=t2-56t+100=9t2，
整理得：t2+70t-125=0
解得：t1=15-35，t2=-15-35＜0（舍去）
故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，
∵PQ2=PF2+FQ2，
∴PQ2=t2-56t+100=t2
整理得：9t2-70t+125=0，解得：t1=，t2=5
故当⊙P与⊙Q内切时，t=秒或5秒．